Análise combinatória: resumo para Enem e vestibulares

Alguns assuntos de Matemática são muito importantes para combinar técnicas, otimizar o tempo durante a realização de cálculos e garantir a precisão dos resultados. É o caso da Análise Combinatória, que aborda formas mais simples de calcular situações complexas e manuais.

Sendo um assunto presente em diversos programas de Matemática, entender sobre Análise Combinatória é essencial para quem vai prestar vestibulares, realizar a prova do Enem ou mesmo já está na universidade e deseja entender melhor o assunto.

Por isso, preparamos este artigo que vai te apresentar tudo sobre a Análise Combinatória. Vamos lá?

O que é Análise Combinatória?

A Análise Combinatória é um campo da matemática que corresponde aos estudos sobre diferentes métodos e técnicas de contagem.

A abordagem da Análise Combinatória data do século XVI, com os estudos do matemático italiano Nicolas Fontana (1499 – 1557), que desenvolveu algumas técnicas probabilísticas para a solução de problemas simples e complexos.

Assim, a Análise Combinatória explora as possibilidades de chegar em um determinado resultado, simplificando ou mesmo eliminando algumas etapas de cálculo.

O principal princípio que rege a Análise Combinatória é o princípio fundamental da contagem, o qual indica todas as combinações possíveis para um determinado conjunto de elementos.

Um exemplo simples pode ser explorado: Ana possui 3 sapatos (1, 2, 3) e 2 braceletes (a e b). Ela pode combinar os itens do seu guarda-roupa de algumas maneiras diferentes, que nos convém chamar de “x”. Assim, podemos desenhar as possibilidades de Ana combinar diferentes sapatos com braceletes.

Observe o conjunto de possibilidades: (1, a); (1, b); (2, a); (2, b); (3, a); (3, b). Note que Ana, nossa personagem hipotética, poderia escolher até 6 combinações diferentes com essas peças.

Essa forma simples de resolver os cálculos pode se tornar muito trabalhosa à medida em que os números e as possibilidades se tornam mais complexos, justificando o uso de arranjos, permutações e combinações, como você lerá ainda neste artigo.

Para entender todas as fórmulas e dicas de resolução dos tipos de Análise Combinatória, é necessário ter em mente o conceito de fatorial de um número, a série de multiplicações do próprio número pelos seus antecessores, representado por “n!”.

Dessa maneira, os fatoriais poderiam ser organizados em:

• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 2! = 2 x 1 = 2

Compreender este conceito ajuda a entender e simplificar cálculos com a Análise Combinatória, que vamos explorar na continuidade do artigo.

Qual a função da Análise Combinatória?

A função da Análise Combinatória é, basicamente, tornar eficientes e práticos os processos de contagem na matemática, com ferramentas que podem auxiliar na realização de cálculos.

Como diversas combinações podem ser feitas sem o auxílio de fórmulas ou técnicas, o processo de Análise Combinatória pode ser realizado empiricamente. Contudo, problemas mais complexos exigem a aplicação de técnicas, por impossibilitaram a resolução num tempo exequível e com resultados coerentes.

Em síntese, usar a Análise Combinatória garante mais rapidez, precisão e eficiência na hora de avaliar as possibilidades de cálculos.

Quais são os tipos de Análise Combinatória?

No estudo da Análise Combinatória, são admitidos diferentes tipos de raciocínio para finalidades diversas, haja visto que algumas possibilidades permitem repetição e outras não, além da necessidade de separar fatores iguais e diferentes.

Os tipos de Análise Combinatória são: arranjo, permutação e combinação. Na sequência da leitura deste artigo, você vai entender um pouco mais sobre cada um.

Arranjo

O arranjo é um agrupamento de elementos diferentes em que as possibilidades admitem ou não a repetição de combinações. Para a Análise Combinatória, é necessário fazer uma separação entre os arranjos simples e os arranjos com repetição.

Arranjo Simples

O arranjo simples considera que algumas ocorrências totais não devem se repetir de acordo com os grupos de ocorrências ou elementos. Dessa maneira, o que é explorado é o arranjo de formas diferentes ou o somatório de formas diferentes de um determinado fenômeno.

Utiliza-se, assim, a fórmula:

A n,p = n!(n-p)!

Onde:

n = número total de ocorrências, elementos, indivíduos, etc

p = número de ocorrências, elementos, indivíduos de cada grupo

Arranjo com repetição

O arranjo com repetição representa o estudo da Análise Combinatória que admite questões comuns do dia a dia, como as repetições em combinações possíveis que todas as pessoas fazem em conjuntos de objetos, senhas e informações variadas.

A principal diferença com o arranjo simples, como o nome pode sugerir, é a permissão de repetições. Dessa maneira, grupos de p elementos entre n elementos de um grupo podem se combinar com repetições.

A fórmula que possibilita esse cálculo é:

ARn,r = nr 

Onde:

n = número total de ocorrências, elementos, indivíduos, etc.

r = número de elementos escolhidos.

Permutação

A técnica da permutação também é uma forma de Análise Combinatória, para a contagem de maneiras possíveis de ordem de elementos em conjuntos finitos. Assim, permutar é realizar trocas, avaliando todas as possibilidades de trocas de lugar entre os elementos de um dado grupo.

Permutação simples

Uma permutação simples se caracteriza pela exploração de conjuntos finitos e seus elementos ordenados, sem admitir a possibilidade de repetição entre as trocas realizadas no processo de permuta. Com isso, se delimita uma quantidade exata das possibilidades de ordenação do grupo.

A expressão da Permutação Simples considera, então, que a fórmula deve relacionar as possibilidades com a quantidade fatorial dos números, como expresso abaixo:

Pn = n!

Onde:

n = número total de elementos.

Permutação com repetição

A permutação com repetição é aquela que admite que, dentro de um conjunto n total de elementos, alguns podem ser iguais aos outros, e, assim, trocas de elementos idênticos fazem parte do rol de possibilidades.

Um exemplo muito comum desse tipo de permutação, é o uso de palavras. Note que, em casos como “ATMOSFERA”, há a repetição do elemento “A” no grupo, possibilitando diversas maneiras de se escrever anagramas com esse conjunto de letras, como no caso de “TAMESFORA”, dentre outras.

Mas como expressar isso numa fórmula? Basta considerar, primeiramente,o número total de elementos que se repetem. Vamos trabalhar com as letras a, b e c.  Assim, a fórmula considerará que o fatorial do número total de elementos (n!) deve ser dividido pelo produto dos fatoriais dos elementos que se repetem (a!, b! e c!).

P(a, b, c…) n= n!a! x b! x c!

Onde:

Pn = número de permutações totais de n elementos

a, b e c = número de elementos de cada tipo que se repetem

Combinação

A combinação, na Análise Combinatória, auxilia na contagem de conjuntos e subconjuntos diferentes, que podem ser formados de acordo com elementos do conjunto maior, sem importar a ordem de organização dos grupos.

Combinação simples

Por desconsiderar a ordem de elementos, a combinação é simples e guarda diferenças com outros procedimentos da Análise Combinatória.

Assim, pode-se calcular as possibilidades de combinação simples considerando grupos em que não há repetições e a ordem de organização não possui qualquer importância. O exemplo mais clássico é o da sala de frutas, em que se pode ter diferentes frutas em diversas combinações.

A fórmula para o cálculo desse caso é:

Cpn = n!p!(n-p)!

Onde:

c = quantidade total de combinações

n = número total de elementos de um conjunto maior

p = número de elementos no conjunto que será formado

Combinação composta

A combinação composta é um caso que ocorre quando os elementos de um conjunto maior se repetem. Podemos chamar, então, essa análise de possibilidades de combinação por repetição, de maneira análoga.

Dessa forma, na combinação composta ou com repetição, o número de elementos a serem combinados é maior do que a quantidade de elementos disponíveis no conjunto original, o que representa uma mudança crucial em comparação com a combinação simples.

A fórmula para a combinação composta é:

Cpn = (n + p-1)!p!(n-1)!

Onde:

n = número de elementos do conjunto original, que neste caso não é o maior

p = número de elementos do conjunto a ser combinado, que admite repetições

Qual a relação entre Probabilidade e Análise Combinatória?

A Probabilidade e a Análise Combinatória são áreas muito próximas do cálculo matemático, que podem se complementar e distanciar em alguns pontos, mas servem para a análise de variáveis importantes para o dia a dia.

No contexto dos cálculos probabilísticos e estatísticos, a Análise Combinatória entra como uma aplicação e ferramenta, que pode ser utilizada em contextos maiores, como a avaliação de riscos, tomada de decisão, estudos genéticos, geração de dados para o poder público, e muitas outras aplicações.

Além do que já citamos, o estudo dos arranjos, permutações e combinações estão a serviço de diversos procedimentos do mundo dos negócios, além de ajudarem na previsibilidade de análises de empresas de dados.

E aí? Conseguiu entender tudo sobre Análise Combinatória? Agora é a sua vez de aprofundar os conceitos aplicando as fórmulas dentro de problemas do dia a dia. Não deixe de explorar todas as possibilidades de arranjos, permutações e combinações, além de buscar questões escolares e de provas de vestibular ou Enem.

Obrigado pela leitura, e até a próxima!