Saiba tudo sobre conjuntos numéricos
O estudo dos números é uma das principais partes do conhecimento matemático, e essencial para compreender teorias importantes dessa área do conhecimento, principalmente para quem deseja prestar provas de vestibular ou a prova do Enem.
Os Conjuntos numéricos fazem parte do ramo matemático desenvolvido pela Teoria dos conjuntos. Nesse artigo, você vai descobrir tudo sobre esse grupo de elementos numéricos, como os conceitos e símbolos.
Vamos lá? Boa leitura!
Neste artigo você vai encontrar:
O que são Conjuntos numéricos?
Os Conjuntos numéricos podem ser definidos como grupos, coleções ou conjuntos de elementos numéricos com características semelhantes.
Como os estudos matemáticos são tradicionalmente associados às civilizações antigas, estima-se que o estudo sobre os Conjuntos numéricos tenha surgido a partir da necessidade dos seres humanos em compreender o funcionamento dos grupamentos matemáticos que são tão caros à organização da vida.
Mas, afinal, qual a função dos Conjuntos numéricos? Continue a leitura deste artigo!
Qual a função dos Conjuntos numéricos?
A principal função dos Conjuntos numéricos é criar uma base organizacional para os diferentes tipos de elementos que são conhecidos nos estudos matemáticos.
A partir da observação de que alguns possuíam características e propriedades em comum, passou-se a desenvolver a noção de conjuntos, subconjuntos e pertencimento, considerando sempre que há um grupamento maior no qual todos os outros grupamentos podem estar inseridos.
Tais convenções fazem parte da construção da matemática como campo da ciência, com bases teóricas e práticas.
Quais são os tipos de Conjuntos numéricos?
Existem diversos conjuntos de números, mas os principais, ou seja, mais utilizados em operações matemáticas cotidianas são:
- Números Naturais (N)
- Números Inteiros (Z)
- Números Racionais (Q)
- Números Irracionais (I)
- Números Reais (R)
- Números Complexos (C)
Vamos entender as características particulares de cada conjunto?
Números Naturais (N)
O Conjunto dos números naturais é aquele que reúne todos os algarismos positivos e inteiros, e é representado pela letra N. Por se tratar de reunir todos os números positivos, trata-se de um grupo infinito de elementos. Não há como escrever o último elemento do grupo, apesar de se destacar o zero como componente fundamental.
Subconjuntos dos Números Naturais
- N* (números naturais não-nulos; o zero não é incluído) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}. Pode-se também representar como: N* = N – {0}.
- Np (números naturais pares) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …}.
- Ni (números naturais ímpares) = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ….}.
- P (números naturais primos) = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}.
- Números compostos (não-primos) = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, …}
- Quadrados perfeitos (potências de expoente 2) = {1, 4, 9, 16, 25, 36, …}
Números Inteiros (Z)
O Conjunto dos números inteiros pode ser representado pela letra Z, e reúne todos os números, independente do sinal positivo ou negativo. Assim, ele também engloba todos os números naturais do grupamento anterior e seus inversos.
Subconjuntos dos Números Inteiros
- Z* ( números inteiros não-nulos; não inclui o zero) = {…, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, …}. Pode-se também representar como: Z* = Z – {0}.
- Z+ (números inteiros e não-negativos; Z+ = N) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.
- Z*+ (números inteiros positivos e não-nulos) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…}.
- Z- (números inteiros não-positivos) = {…, –5, –4, –3, –2, –1, 0}.
- Z*- (números inteiros negativos e não-nulos) = {…, –5, –4, –3, –2, –1}.
Números Racionais (Q)
O Conjunto dos números inteiros pode ser representado pela letra Q, e reúne todos os números fracionários, ou seja, que podem ser escritos no formato de fração (a/b). Neste caso, a e b devem ser números inteiros, e b deve ser diferente de zero.
Assim, pode-se representar o conjunto como:
Q = {0, ±1, ±1/3,…±1/5, …, ±5, ±6/4, ±6/7, …, ±3,… ±3/5, ±3/6, …}.
Algumas características devem ser destacadas:
- Todo número inteiro é também um número racional; Z é um subconjunto de Q
- As dízimas periódicas são números decimais que se repetem, como 3,66666.
- As dízimas periódicas são, assim, números racionais que podem ser escritos como fração
Subconjuntos dos Números Racionais
- Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos
- Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos
- Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos
- Q- = subconjunto dos números racionais não-positivos
- Q*- = subconjunto dos números racionais negativos
Números Irracionais (I)
O Conjunto dos números irracionais pode ser representado pela letra I, e reúne todos os números com decimais infinitos que são se repetem periodicamente, ou seja, os elementos que não podem ser colocados numa fração (a/b) em que a e b devem ser números inteiros, e b deve ser diferente de zero
O exemplo mais famoso é o número pi, que representa o resultado da razão entre o perímetro e o diâmetro de um círculo qualquer. Pi = 3,1415….
Números Reais
O Conjunto dos números irracionais pode ser representado pela letra R, e reúne todos os números racionais (Q) e irracionais (I). Dessa maneira, pode-se resumir que R = Q ∪ I, e que N, Z, Q e I são, a partir desse raciocínio, subconjuntos de R.
Subconjuntos dos Números Reais
- R* = {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos {±1, ±1/2,…±1/4, …, ±2, ± 4,6666… ±5,… ±12/2}.
- R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
- R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos. {0, 1, 2, 4/8…6,888…}
- R- = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos. {0, -6, – 5,..-8/16,… – 7,777…}
- R*- = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos. {- 6, – 5,..-8/16,… – 9,999…}
Números Complexos (C)
O Conjunto dos números complexos pode ser representado pela letra C, e reúne todos os outros conjuntos a partir da fórmula Z = a +bi, em que a e b são números reais e i é a raiz quadrada de -1.
Este conjunto precisou ser criado para a solução de equações de segundo grau e demais cálculos que fugissem dos números reais, assim, aplica-se o número imaginário i2 = -1 para resolver a raiz quadrada de números negativos.
Intervalos numéricos
Uma representação comum dos Conjuntos numéricos vem da noção de intervalos, que correspondem aos números reais que se situam entre dois pontos numéricos e geométricos. Cabe ressaltar que essa notação só se aplica aos elementos reais.
Intervalo aberto (] a, b [)
Neste intervalo, os valores extremos não estão incluídos. Supondo que um intervalo de números vá de 1 a 9, estariam nesse grupo todos os números entre 1 e 9, excetuando os próprios 1 e 9.
Ou seja:
] 1, 9 [ = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)
Intervalo fechado ([a, b])
Neste caso, os valores extremos se incluem dentro do intervalo. Dessa maneira, pode-se utilizar a notação de igual ou maior, ou igual ou menor. Tomando como exemplo um grupo de números entre 2 e 8, se diria que o intervalo compreende os valores iguais ou maiores que 2, ou iguais ou menores que 8.
Ou seja:
[2, 8] = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Intervalo por desigualdade
Neste intervalo, um dos valores extremos não pertence a um intervalo, criando-se assim uma desigualdade. Pode-se imaginar que, num intervalo entre 3 e 6, o valor menor ou o maior não sejam incluídos dentro do Conjunto numérico.
Ou seja:
Possibilidade 1: {3, 4, 5}
Possibilidade 2: {4, 5, 6}
Intervalo aberto e infinito
Neste caso, o intervalo é definido a partir de uma das extremidades, que é um número real determinado. A outra extremidade se mantém aberta para valores infinitos reais, que podem contar tanto à direita quanto à esquerda, isto é, incluindo todos os números infinitos positivo e/ou negativos.
Assim, considerando um valor a, pode-se imaginar a variação como:
Variação 1: ]a, +∞[
Variação 2: ]-∞, a[
Propriedades dos Conjuntos numéricos
Com tantas informações apresentadas, vale a pena resumir todas as propriedades dos Conjuntos numéricos. Lá vai:
- O conjunto dos números naturais (N) corresponde a um subconjunto dos números inteiros, ou seja, está contido no grupamento dos números inteiros, representando-se por esta simbologia: Z (N ⊂ Z).
- O conjunto dos números inteiros (Z) corresponde a um subconjunto dos números racionais, ou seja, está contido no grupamento dos números racionais, representando-se por esta simbologia: (Z ⊂ Q).
- O conjunto dos números racionais (Q) corresponde a um subconjunto dos números reais (R), sendo portanto uma das partes do todo de números reais, com a característica básica de representarem números fracionários.
- Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) correspondem, respectivamente, subconjuntos dos números reais (R). Assim, todos os grupamentos fazem parte de um maior.
E aí, conseguiu aprender tudo sobre os Conjuntos numéricos? Agora basta treinar com exercícios, vídeo aulas e leitura de outros materiais sobre o assunto. Assim, você garante o domínio deste conteúdo tão importante para os seus estudos.
Agora vamos te pedir uma coisa: não deixe de compartilhar este artigo para quem, como você, está buscando entender mais sobre os Conjuntos numéricos da matemática!
Nos vemos na próxima! Obrigado por ficar conosco até aqui.
Texto escrito por: Prasaber
